İki Dakikada Matematik

Modüler aritmetik yardımı ile akıl almaz büyüklükteki sayılar ile hesaplama yapmanız mümkündür. Kısaca anlatalım sizlere…

***

Saat bir sayma makinesinden başka nedir ki? Dakikaları, saniyeleri sürekli sayar durur. Diğer yandan saatin sayı saymasında farklı olan bir şeyler vardır. Saydığı sayılar hiçbir zaman büyümez ancak buna alışık olduğumuzdan bu bize hiç de garip gelmez.

Kaç tane 12 geçtiği ile ilgilenmiyor gibidir, önemli olan 12’den geriye kalandır bu sayma işleminde…

Örneğin saat 8 iken 6 saat sonra saatin kaç olacağını bilmek istediğimizi düşünelim. Yapacağımız işlem normalde elbette toplamadır ancak bu toplama göze biraz garip görünmektedir. 8+6=2

Normal koşullarda bu işleme bir saat hesabı gözüyle bakmazsak gerçekten sonuç anlamsızdır. Ancak saat matematiğinde 2-4=10, 6+38=8 gibi onlarca anlamsız yazılış biçimi daha vardır.

Yaptığımız sadece 12 li kümeleri sayarak ya da kısaca 12’ye bölerek kalanı yazmaktır. Bu elbette 12 sayısına özel bir marifet değildir. Sonuçta 23+42=5 de anlamlıdır elbette saniye açısından.

O zaman her seferinde ne yaptığımızı anlatmaktansa matematik açısından daha kısa bir yola ihtiyacımız vardır. Neyse ki bunun için benimsenmiş bir gösterim biçimi mevcut.

8+6=14 ve 14≡2 (mod 12)

Aslında bu ifade 14, 12’lik saat diliminde 2 ile aynıdır demenin bir başka yoludur ya da daha matematiksel bir ifade ile 14, 12’ye bölündüğünde kalan 2.

Eğer bu gösteriş biçimine alışırsak o zaman 49≡1 (mod 8) ifadesi de bize 49 sayısının 8 ile bölündüğünde kalanının 1 olduğunu söyler. Yeterince basit…

Bu matematikte bir adım daha öteye geçerek negatif sayıları da işin içine katabiliriz. Mesela 55 sayısını ele alalım ve 8 ile bölelim kalan elbette 7, o zaman bunu 55≡7 (mod 8) olarak yazabileceğimizi artık anladık. Yani 8’in katlarından 7 birim fazla, ama öte yandan aynı biçimde de 8’in katlarından 1 birim eksik. 

İşte bu nedenle  55≡ -1 (mod 8) biçiminde gösterebiliriz bu düşünce biçimimizi.

İyi, güzel, anladık ama bunlar ne işe yarar derseniz…

Güzel soru hemen kısaca açıklayalım.

Bir ‘saat sayısı” eşitliğinin her iki tarafına da sayı ekleyebilir, çıkartabilir, belli bir kuvvete yükseltilebilir ve işin güzel tarafı bu eşitlik hiç bozulmaz.

Örneğin 49≡1 (mod 8) ele alalım, iki tarafa da 2 ekleyelim elde edilen sonuç 51≡3 (mod 8) işlemini kontrol ederseniz doğru olduğunu göreceksiniz. Aynı biçimde her iki taraftan 2 çıkartmayı denersek 47≡-1 (mod 8) de doğrudur.

İşi biraz daha öteye taşıyıp her iki tarafın karesini alırsanız 492≡12 (mod 8) işleminin sonucuda doğrusudur çünkü gerçekten 49 sayısının karesi olan 2401 sayısının 8 ile bölümünden kalan 1 dir. Daha büyük bir üst kullansanız bile sonuç hiç değişmeyecektir.

49100≡1 (mod 8) Bu yaptığımız hesap ile evrendeki atomların toplam sayısından çok daha büyük bir sayının 8 ile bölünmesinden geriye bir kaldığını bize söylemektedir.

Bu işlemi bilgisayar ile bile bu kadar hızlı hesaplamak mümkün değildir. Aynı zamanda 49100-1 işleminin 8 ile tam olarak bölünebildiğini de bulmuş olduk elbette…

Bu eşitliğin sağ tarafı 1 veya 0 olduğu için kolay ama bu biraz sınırlayıcı değil mi diye düşünebilirsiniz. Şaşırabilirsiniz ama biraz aklımızı kullanarak sağ tarafı her durumda 1 veya 0 yapmak mümkün aslında.

Örneğin bir arkadaşınız size 1 sayısının sonuna 999.999 tane sıfır yazıp sonuna da 9 ekleyip bu sayının 13 ile bölününce kalanının kaç olduğunu sorduğunu düşünelim.

Bir nevi meydan okuma yani :)

Şimdi bu devasa sayımızı daha derli toplu yazalım: 101.000.000+9

Soru 13’e bölündüğünde kalanı sorduğuna göre de (mod 13) saati ile çalışmamız gerekiyor.

Tabanımız olan 10 sayısı için 10≡-3 (mod 13) diyebiliriz. (1)

Her iki tarafın karesini alırsak 102≡9 (mod 13) elde ederiz.(2)

Unutmayın, amacımız sağ tarafta 1 veya 0 elde etmek. O zaman (1) ve (2) de elde ettiğimiz sonuçları gelin birbirleri ile çarpalım. O zaman yeni sayımız:

103≡-27 (mod 13) olacaktır. -27 sayısı (-13)+(-13)+(-1) olduğundan

103≡-1 (mod 13) ifadesini de kullanabiliriz artık. (Unutmayın buradaki eksiler sadece sembolik saatte ters yönde hareket etmek gibi…

Sonunda 1 sayısını elde ettik ancak bir sorun var bu 1 şu an negatif bir sayı. Aslında bu çok da dert değil. Biliyoruz ki (-1) sayısının tüm tek kuvvetleri (-1), tüm çift kuvvetleri ise 1’dir. Şimdi bu son eşitliğin her iki tarafını da 333.333’üncü kuvvetine yükseltelim.

(103)333.333≡-1 (mod 13) yani 10999.999≡-1 (mod 13) elde ettik. Aradığımız sayıya oldukça yaklaştık bir tane 10 ile çarpmamız yeterli. O zaman (1) numaralı eşitlikte bulduğumuz ifade ile bu ifadeyi çarpalım.

101.000.000≡3 (mod 13) buluruz ve hedefe varmak için her iki tarafa da 9 eklersek

101.000.000≡12 (mod 13) elde ederiz…

Umarız bu örnek artık saat sayılarının ya da okullarda öğretilen adıyla modüler aritmetiğin ne işe yaradığı konusunda bir fikir vermiştir.

Bu yöntem sayıların özelliklerini incelemek için matematikçilerin eline çok güçlü bir silah vermiş, yeni bir yaklaşıma yol açmıştır. Gauss bu yaklaşım biçimini kullanan ilk matematikçidir.

Tam da ona yakışır bir düşünce biçimi…

İleri okuma: Malcolm E. Lines – Bir Sayı Tut, sayfa 85 – 99